Kalkulator Funkcji Kwadratowej 📈
Analizuj funkcję kwadratową f(x) = ax² + bx + c. Oblicz deltę, miejsca zerowe, wierzchołek paraboli oraz postać kanoniczną i iloczynową.
Wprowadź współczynniki
przy x²
przy x
wyraz wolny
Najczęściej zadawane pytania (FAQ)
Jak obliczyć deltę?
Delta (wyróżnik) obliczamy ze wzoru: Δ = b² - 4ac, gdzie a, b, c to współczynniki funkcji kwadratowej f(x) = ax² + bx + c. Delta określa liczbę miejsc zerowych: Δ > 0 → dwa miejsca zerowe, Δ = 0 → jedno, Δ < 0 → brak.
Jak obliczyć miejsca zerowe funkcji kwadratowej?
Miejsca zerowe obliczamy ze wzorów: x₁ = (-b - √Δ) / 2a oraz x₂ = (-b + √Δ) / 2a. Wzory działają tylko gdy Δ ≥ 0. Przy Δ = 0 oba wzory dają ten sam wynik (jedno miejsce zerowe).
Czym jest wierzchołek paraboli?
Wierzchołek paraboli to punkt (p, q) gdzie funkcja osiąga wartość minimalną (gdy a > 0) lub maksymalną (gdy a < 0). Wzory: p = -b/(2a) oraz q = -Δ/(4a). Wierzchołek wyznacza oś symetrii x = p.
Jak narysować wykres funkcji kwadratowej?
Etapy: 1) Oblicz deltę i miejsca zerowe (punkty przecięcia z osią X), 2) Znajdź wierzchołek (p, q), 3) Oblicz punkt przecięcia z osią Y: f(0) = c, 4) Narysuj parabolę przez te punkty. Ramiona w górę gdy a > 0, w dół gdy a < 0.
Co to jest postać kanoniczna funkcji kwadratowej?
Postać kanoniczna to f(x) = a(x - p)² + q, gdzie (p, q) to współrzędne wierzchołka. Z tej postaci od razu odczytujemy wierzchołek. Przekształcenie: p = -b/(2a), q = -Δ/(4a).
Co to jest postać iloczynowa funkcji kwadratowej?
Postać iloczynowa to f(x) = a(x - x₁)(x - x₂), gdzie x₁ i x₂ to miejsca zerowe. Ta postać istnieje tylko gdy Δ ≥ 0. Z niej od razu odczytujemy miejsca zerowe funkcji.
Jak określić monotoniczność funkcji kwadratowej?
Funkcja kwadratowa nie jest monotoniczna na całej dziedzinie. Gdy a > 0: maleje dla x < p, rośnie dla x > p. Gdy a < 0: rośnie dla x < p, maleje dla x > p. Punkt p to x-owa współrzędna wierzchołka.
Jak wyznaczyć zbiór wartości funkcji kwadratowej?
Zbiór wartości zależy od znaku a i wartości q (y wierzchołka). Gdy a > 0: ZW = [q, +∞) - funkcja ma minimum w wierzchołku. Gdy a < 0: ZW = (-∞, q] - funkcja ma maksimum w wierzchołku.
Jak przeczytać wzór funkcji z wykresu?
Z wykresu odczytaj: 1) Miejsca zerowe x₁, x₂ - punkty przecięcia z osią X, 2) Wierzchołek (p, q), 3) Dowolny punkt (x, y). Ze wzoru a(x-x₁)(x-x₂) = y oblicz a. Lub ze wzoru a(x-p)² + q = y.
Co to znaczy, że parabola jest "smutna" lub "wesoła"?
To potoczne określenia kierunku ramion paraboli. "Wesoła" (uśmiechnięta) - ramiona w górę (a > 0), wygląda jak uśmiech 😊. "Smutna" - ramiona w dół (a < 0), wygląda jak smutna buzia 😞. Kierunek zależy od znaku współczynnika a.