Kalkulator Macierzy 🧮
Oblicz wyznacznik, macierz odwrotną, transpozycję. Wykonaj mnożenie, dodawanie i odejmowanie macierzy. Obsługuje macierze 2×2, 3×3 i 4×4.
Wprowadź macierz
Macierz A:
Dostępne operacje
Wyznacznik (det)
Oblicza skalar - wyznacznik macierzy kwadratowej. Ważny dla sprawdzenia odwracalności.
Macierz odwrotna (A⁻¹)
Znajduje macierz odwrotną. Istnieje tylko gdy det(A) ≠ 0.
Transpozycja (Aᵀ)
Zamienia wiersze z kolumnami. Element a_ij staje się a_ji.
Mnożenie (A × B)
Iloczyn dwóch macierzy. Uwaga: mnożenie nie jest przemienne!
Dodawanie (A + B)
Suma elementowa dwóch macierzy o tych samych wymiarach.
Odejmowanie (A - B)
Różnica elementowa dwóch macierzy o tych samych wymiarach.
Najczęściej zadawane pytania (FAQ)
Jak obliczyć wyznacznik macierzy 2x2?
Wyznacznik macierzy 2×2: det(A) = a₁₁×a₂₂ - a₁₂×a₂₁. Przykład: dla macierzy [[2,3],[1,4]] wyznacznik = 2×4 - 3×1 = 8 - 3 = 5.
Jak obliczyć wyznacznik macierzy 3x3?
Wyznacznik 3×3 obliczamy metodą Sarrusa lub rozwinięcia Laplace'a. Metoda Sarrusa: dodaj iloczyny przekątnych głównych, odejmij iloczyny przekątnych pobocznych. Lub: rozwiń względem pierwszego wiersza sumując a₁ⱼ×(-1)^(1+j)×M₁ⱼ.
Czym jest macierz odwrotna?
Macierz odwrotna A⁻¹ to taka macierz, że A×A⁻¹ = I (macierz jednostkowa). Istnieje tylko gdy det(A) ≠ 0. Dla macierzy 2×2: A⁻¹ = (1/det(A)) × [[d,-b],[-c,a]] gdzie A = [[a,b],[c,d]].
Jak mnożyć macierze?
Mnożenie macierzy A(m×n) × B(n×p) = C(m×p). Element c_ij = suma a_ik × b_kj dla k=1..n. Ważne: liczba kolumn A musi równać się liczbie wierszy B. Mnożenie macierzy nie jest przemienne (A×B ≠ B×A).
Czym jest transpozycja macierzy?
Transpozycja macierzy A^T to zamiana wierszy z kolumnami. Element a_ij staje się a_ji. Przykład: [[1,2,3],[4,5,6]]^T = [[1,4],[2,5],[3,6]]. Macierz m×n staje się macierzą n×m.
Kiedy można dodawać macierze?
Macierze można dodawać lub odejmować tylko wtedy, gdy mają te same wymiary (m×n). Dodawanie jest elementowe: (A+B)_ij = A_ij + B_ij. W przeciwieństwie do mnożenia, dodawanie jest przemienne i łączne.
Co oznacza, że wyznacznik równa się 0?
Jeśli det(A) = 0, macierz jest osobliwa (degenerowana). Oznacza to, że: nie istnieje macierz odwrotna, wiersze/kolumny są liniowo zależne, układ równań ma nieskończenie wiele lub zero rozwiązań.
Jak sprawdzić czy macierz ma macierz odwrotną?
Macierz kwadratowa A ma odwrotność wtedy i tylko wtedy, gdy det(A) ≠ 0. Oblicz wyznacznik - jeśli jest różny od zera, macierz odwrotna istnieje. Nazywamy ją macierzą nieosobliwą lub odwracalną.
Do czego służą macierze w praktyce?
Macierze mają wiele zastosowań: grafika komputerowa (transformacje 3D), uczenie maszynowe (sieci neuronowe), fizyka (mechanika kwantowa), ekonomia (modele input-output), rozwiązywanie układów równań, kryptografia, przetwarzanie obrazów.
Czym jest macierz jednostkowa?
Macierz jednostkowa I to macierz kwadratowa z 1 na przekątnej głównej i 0 poza nią. Jest neutralna dla mnożenia: A×I = I×A = A. Przykład macierzy 3×3: [[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]].