Kalkulator NWD i NWW 🔢
Oblicz Największy Wspólny Dzielnik (NWD) i Najmniejszą Wspólną Wielokrotność (NWW). Algorytm Euklidesa z krokami. Rozkład na czynniki pierwsze.
NWD – Największy Wspólny Dzielnik
Największa liczba dzieląca wszystkie podane liczby bez reszty. Ang. GCD (Greatest Common Divisor).
NWW – Najmniejsza Wspólna Wielokrotność
Najmniejsza liczba podzielna przez wszystkie podane liczby. Ang. LCM (Least Common Multiple).
Wprowadź liczby
Jak obliczyć NWD i NWW?
Metoda 1: Algorytm Euklidesa
- Podziel większą liczbę przez mniejszą
- Jeśli reszta = 0 → dzielnik to NWD
- Jeśli reszta ≠ 0 → podstaw dzielnik jako dzielną, resztę jako dzielnik
- Powtarzaj do uzyskania reszty 0
48 ÷ 18 = 2 r. 12
18 ÷ 12 = 1 r. 6
12 ÷ 6 = 2 r. 0
NWD = 6
Metoda 2: Rozkład na czynniki
- Rozłóż obie liczby na czynniki pierwsze
- NWD = iloczyn wspólnych czynników z mniejszymi wykładnikami
- NWW = iloczyn wszystkich czynników z większymi wykładnikami
18 = 2 × 3²
NWD = 2¹ × 3¹ = 6
NWW = 2² × 3² = 36
Najczęściej zadawane pytania (FAQ)
Co to jest NWD (Największy Wspólny Dzielnik)?
NWD (ang. GCD - Greatest Common Divisor) to największa liczba naturalna, która dzieli wszystkie podane liczby bez reszty. Przykład: NWD(12, 18) = 6, bo 6 jest największą liczbą dzielącą zarówno 12 jak i 18.
Co to jest NWW (Najmniejsza Wspólna Wielokrotność)?
NWW (ang. LCM - Least Common Multiple) to najmniejsza liczba naturalna, która jest wielokrotnością wszystkich podanych liczb. Przykład: NWW(4, 6) = 12, bo 12 jest najmniejszą liczbą podzielną przez 4 i przez 6.
Jak obliczyć NWD metodą algorytmu Euklidesa?
Algorytm Euklidesa: 1) Podziel większą liczbę przez mniejszą, 2) Jeśli reszta = 0, dzielnik jest NWD. 3) Jeśli reszta ≠ 0, podstaw dzielnik jako dzielną, a resztę jako dzielnik i powtórz. Przykład: NWD(48,18): 48÷18=2 r.12, 18÷12=1 r.6, 12÷6=2 r.0. NWD=6.
Jak obliczyć NWW znając NWD?
Dla dwóch liczb a i b: NWW(a,b) = (a × b) / NWD(a,b). Przykład: NWW(12,18) = (12×18)/NWD(12,18) = 216/6 = 36. Ta zależność znacznie przyspiesza obliczenia.
Jak obliczyć NWD i NWW metodą rozkładu na czynniki?
Rozkład: 12 = 2² × 3, 18 = 2 × 3². NWD = iloczyn wspólnych czynników z mniejszymi wykładnikami: 2¹ × 3¹ = 6. NWW = iloczyn wszystkich czynników z większymi wykładnikami: 2² × 3² = 36.
Do czego służy NWD w praktyce?
Zastosowania NWD: skracanie ułamków (dzielimy przez NWD), dzielenie przedmiotów na równe grupy, układanie płytek (wymiary), kryptografia (RSA), sprawdzanie względnej pierwszości liczb.
Do czego służy NWW w praktyce?
Zastosowania NWW: dodawanie ułamków (wspólny mianownik), synchronizacja cykli (harmonogramy), planowanie spotkań, obliczanie kiedy zdarzenia się pokryją, programowanie (cykle, timery).
Kiedy NWD dwóch liczb równa się 1?
NWD(a,b) = 1 gdy liczby są względnie pierwsze (współpierwsze). Nie mają wspólnych dzielników oprócz 1. Przykład: NWD(8,15) = 1. Nie muszą być liczbami pierwszymi - wystarczy brak wspólnych czynników.
Jak obliczyć NWD i NWW dla więcej niż 2 liczb?
Obliczaj parami: NWD(a,b,c) = NWD(NWD(a,b), c). Analogicznie NWW(a,b,c) = NWW(NWW(a,b), c). Metoda działa dla dowolnej liczby argumentów. Kolejność nie ma znaczenia (łączność i przemienność).
Jaki jest związek między NWD a NWW?
Dla dwóch liczb a i b: NWD(a,b) × NWW(a,b) = a × b. Wynika z tego, że NWW = (a×b)/NWD. Jeśli NWD=1 (liczby względnie pierwsze), to NWW = a×b. Im większy NWD, tym mniejszy NWW.