Pomiń nawigację

Liczby Rzeczywiste

Liczby rzeczywiste (ℝ) to jeden z najważniejszych zbiorów w matematyce. Obejmują wszystkie liczby, które można przedstawić na osi liczbowej.

📐 Co to są liczby rzeczywiste?

Definicja: Liczby rzeczywiste to zbiór wszystkich liczb, które można przedstawić jako punkt na osi liczbowej. Symbol: ℝ

Zbiór ℝ zawiera zarówno liczby wymierne (ułamki, całkowite, naturalne) jak i niewymierne (√2, π, e). Każda liczba rzeczywista ma swoje dokładne miejsce na osi liczbowej.

🏗️ Hierarchia zbiorów liczbowych

ℕ
Liczby naturalne
0, 1, 2, 3, 4, 5, ... (do liczenia)
⬇️ zawiera się w
ℤ
Liczby całkowite
..., -2, -1, 0, 1, 2, ... (z ujemnymi)
⬇️ zawiera się w
ℚ
Liczby wymierne
1/2, -3/4, 0.25, 0.333... (ułamki)
⬇️ + liczby niewymierne =
ℝ
Liczby rzeczywiste
Wszystkie powyższe + √2, π, e, ... (cała oś)

⚖️ Liczby wymierne vs niewymierne

ℚ Liczby wymierne

Można zapisać jako ułamek p/q, gdzie p i q są całkowite, q≠0.

1/2= 0.5
1/3= 0.333... (okresowe)
7/4= 1.75
-5= -5/1

Liczby niewymierne

Nie można zapisać jako ułamek. Rozwinięcie nieskończone, nieokresowe.

√2= 1.41421356...
π= 3.14159265...
e= 2.71828182...
√3= 1.73205080...

📝 Przykłady liczb rzeczywistych

LiczbaTypZbiory
5Naturalna, całkowita, wymiernaℕ, ℤ, ℚ, ℝ
-3Całkowita, wymiernaℤ, ℚ, ℝ
0Naturalna, całkowita, wymiernaℕ, ℤ, ℚ, ℝ
2/3Wymiernaℚ, ℝ
-0.5Wymierna (= -1/2)ℚ, ℝ
√2Niewymiernaℝ
πNiewymiernaℝ

⚡ Właściwości liczb rzeczywistych

➕ Działania

Liczby rzeczywiste można dodawać, odejmować, mnożyć i dzielić (przez ≠0). Wynik zawsze jest liczbą rzeczywistą.

📏 Uporządkowanie

Każde dwie różne liczby rzeczywiste można porównać. Jedna jest zawsze większa od drugiej.

🔢 Gęstość

Między każdymi dwiema różnymi liczbami rzeczywistymi jest nieskończenie wiele innych liczb rzeczywistych.

♾️ Ciągłość

Oś liczbowa nie ma "dziur" - każdy punkt odpowiada dokładnie jednej liczbie rzeczywistej.

Najczęściej zadawane pytania (FAQ)

Co to są liczby rzeczywiste?▼
Liczby rzeczywiste to zbiór zawierający wszystkie liczby wymierne (ułamki, liczby całkowite) oraz niewymierne (np. √2, π). Symbol: ℝ. Można je przedstawić jako punkty na osi liczbowej - każdy punkt odpowiada jednej liczbie rzeczywistej.
Jakie są przykłady liczb rzeczywistych?▼
Przykłady liczb rzeczywistych: -5, 0, 3, 1/2, -2.5, √2 (≈1.414), π (≈3.14159), e (≈2.718). Wszystkie te liczby można umieścić na osi liczbowej.
Czy 0 to liczba rzeczywista?▼
Tak, 0 jest liczbą rzeczywistą. Zero należy do liczb całkowitych, które są podzbiorem liczb wymiernych, a te z kolei są podzbiorem liczb rzeczywistych. 0 ∈ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ.
Czy liczby ujemne są rzeczywiste?▼
Tak, wszystkie liczby ujemne są liczbami rzeczywistymi. Zbiór liczb rzeczywistych rozciąga się od minus nieskończoności do plus nieskończoności: (-∞, +∞).
Czym różnią się liczby wymierne od niewymiernych?▼
Liczby wymierne można zapisać jako ułamek p/q (gdzie p, q są całkowite, q≠0). Ich rozwinięcie dziesiętne jest skończone lub okresowe. Liczby niewymierne (np. √2, π) mają nieskończone, nieokresowe rozwinięcie dziesiętne.
Czy pierwiastki to liczby rzeczywiste?▼
Pierwiastki z liczb nieujemnych są rzeczywiste (np. √4=2, √2≈1.414). Jednak pierwiastki z liczb ujemnych (np. √-1) nie są rzeczywiste - należą do zbioru liczb zespolonych.
Jaka jest hierarchia zbiorów liczbowych?▼
ℕ (naturalne) ⊂ ℤ (całkowite) ⊂ ℚ (wymierne) ⊂ ℝ (rzeczywiste) ⊂ ℂ (zespolone). Każdy następny zbiór zawiera poprzedni.
Do czego służą liczby rzeczywiste?▼
Liczby rzeczywiste są niezbędne w fizyce, inżynierii, ekonomii i życiu codziennym. Opisują pomiary (długość, czas, temperatura), prawdopodobieństwa, współrzędne geograficzne, i praktycznie wszystkie wielkości ciągłe.

Powiązane tematy

Liczby wymierne

Ułamki i ich właściwości

Liczby pierwsze

Fundamenty matematyki

Kalkulator pierwiastków

Oblicz √, ∛, ⁿ√