Liczby Wymierne
Liczby wymierne (ℚ) to wszystkie liczby, które można zapisać jako ułamek. Stanowią podstawę arytmetyki i są niezbędne w codziennych obliczeniach.
📐 Co to są liczby wymierne?
Definicja: Liczba wymierna to liczba, którą można zapisać w postaci ułamka p/q, gdzie p i q są liczbami całkowitymi, a q ≠ 0. Symbol: ℚ
1/2
= 0.5
-3/4
= -0.75
7
= 7/1
🔍 Jak rozpoznać liczbę wymierną?
✅ Liczba WYMIERNA gdy:
- •Jest ułamkiem zwykłym (3/7, -5/2)
- •Ma skończone rozwinięcie dziesiętne (0.25, -1.5)
- •Ma nieskończone okresowe rozwinięcie (0.333..., 0.142857...)
- •Jest liczbą całkowitą (-5, 0, 7)
❌ Liczba NIEWYMIERNA gdy:
- •Ma nieskończone nieokresowe rozwinięcie
- •√2 = 1.41421356237... (nie ma okresu)
- •π = 3.14159265358... (nieskończony ciąg)
- •e = 2.71828182845... (stała matematyczna)
📋 Przykłady liczb wymiernych
| Postać dziesiętna | Postać ułamkowa | Typ rozwinięcia |
|---|---|---|
| 0.5 | 1/2 | Skończone |
| 0.25 | 1/4 | Skończone |
| 0.333... | 1/3 | Okresowe (okres: 3) |
| 0.666... | 2/3 | Okresowe (okres: 6) |
| 0.142857... | 1/7 | Okresowe (okres: 142857) |
| 1.5 | 3/2 | Skończone |
| -0.75 | -3/4 | Skończone |
| 2.0 | 2/1 = 2 | Skończone (całkowita) |
🔄 Zamiana ułamka okresowego na zwykły
Przykład: Zamień 0.333... na ułamek zwykły:
x = 0.333...
10x = 3.333... (mnożymy przez 10)
10x - x = 3.333... - 0.333... (odejmujemy)
9x = 3
x = 3/9 = 1/3 ✓
⚡ Właściwości zbioru ℚ
🔒 Zamknięty na działania
Suma, różnica, iloczyn i iloraz (przez ≠0) dwóch liczb wymiernych jest zawsze liczbą wymierną.
🔢 Gęsty w ℝ
Między każdymi dwiema różnymi liczbami rzeczywistymi jest nieskończenie wiele liczb wymiernych.
📏 Przeliczalny
Zbiór ℚ jest przeliczalny - można ponumerować wszystkie liczby wymierne liczbami naturalnymi (dowód Cantora).
⊂ Podzbiór ℝ
Każda liczba wymierna jest rzeczywista: ℚ ⊂ ℝ, ale nie każda rzeczywista jest wymierna!
Najczęściej zadawane pytania (FAQ)
Co to są liczby wymierne?▼
Liczby wymierne to wszystkie liczby, które można zapisać jako ułamek p/q, gdzie p i q są liczbami całkowitymi, a q ≠ 0. Symbol: ℚ (od łacińskiego "quotient" - iloraz). Przykłady: 1/2, -3/4, 5 (=5/1), 0.25 (=1/4).
Jak rozpoznać liczbę wymierną?▼
Liczba jest wymierna, jeśli jej rozwinięcie dziesiętne jest skończone (np. 0.25) lub nieskończone okresowe (np. 0.333... = 1/3). Jeśli rozwinięcie jest nieskończone i nieokresowe (np. √2 = 1.41421...), to liczba jest niewymierna.
Czy 0 to liczba wymierna?▼
Tak, 0 jest liczbą wymierną. Można je zapisać jako 0/1 lub 0/n dla dowolnego n≠0. Zero należy do zbioru liczb wymiernych: 0 ∈ ℚ.
Czy liczby całkowite są wymierne?▼
Tak, wszystkie liczby całkowite są wymierne. Każdą liczbę całkowitą n można zapisać jako n/1. Zbiór ℤ jest podzbiorem ℚ: ℤ ⊂ ℚ.
Czym różnią się liczby wymierne od niewymiernych?▼
Liczby wymierne można zapisać jako ułamek zwykły, a ich rozwinięcie dziesiętne jest skończone lub okresowe. Liczby niewymierne (np. √2, π, e) mają nieskończone, nieokresowe rozwinięcie i nie można ich zapisać jako ułamek.
Czy pierwiastki to liczby wymierne?▼
Zależy od argumentu. √4 = 2 jest wymierne, √9 = 3 jest wymierne. Ale √2, √3, √5 są niewymierne. Ogólnie: √n jest wymierne tylko gdy n jest kwadratem liczby całkowitej.
Jak zamienić ułamek dziesiętny okresowy na zwykły?▼
Przykład: 0.333... = x. Mnożymy przez 10: 10x = 3.333... Odejmujemy: 10x - x = 3, czyli 9x = 3, x = 1/3. Dla 0.142857142857... (okres 6 cyfr) mnożymy przez 10^6 i odejmujemy.
Jakie działania można wykonywać na liczbach wymiernych?▼
Liczby wymierne można dodawać, odejmować, mnożyć i dzielić (przez ≠0). Wynik zawsze będzie liczbą wymierną - zbiór ℚ jest zamknięty na te działania. To odróżnia go od ℤ (dzielenie całkowitych nie zawsze daje całkowitą).